內容簡介:
數學界的《蘋果橘子經濟學》,顛覆數學太過抽象、與生活無關的刻板印象!
會數學就像戴上X光的眼鏡,能從混亂無序的世界表像裡,看透其後隱藏的結構。數學是一門不會把事情搞錯的學問,它的技術與習慣經歷過多少世紀的辛勤努力與論辯。手中有了數學當工具,你可以更深刻、更穩健、更有意義的瞭解這個世界。你需要的只是一位教練,或甚至是一本書,來教導你相關規則及基本戰術。而這本《數學教你不犯錯》就是你最好的教練,它能教你如何達成目標。
《數學教你不犯錯,上》,你能學會如何不落入線性思考:你會明白做決策得先明白自己的立足點、你將學會用數學來撥正錯誤的直覺、看清真正的趨勢。你也能學會不做錯誤推論:從此看清楚投顧老師的詐術,知道巧合比你想象的還常發生,看清不太可能跟不可能的差別,而且從此不受統計數字的愚弄!
《數學教你不犯錯,下》,你會知道什麼是期望值,知道期望值的正確用法,例如在買樂透時,什麼時候才是出手的好時機;如何做決定才能獲利最多、損失最少。你還會明白迴歸趨勢,不再會對未來抱持不實際的想法,得以知道如何判斷才是正確之道。你還能清楚存在性是什麼,從此不會給民調數據搞得團團轉,清楚看出誰用什麼手段在操縱民意。你會發現,許多的盲點,都可以用數學突破,數學真的可以教你不犯錯。


延伸閱讀:
BCS106A大自然的數學遊戲
BWS401觀念數學1
BWS402觀念數學2
BWS144數學是啥玩意?I(改版)
BWS145數學是啥玩意?II(改版)
BWS146數學是啥玩意?III(改版)

作者簡介:
艾倫伯格〈Jordan Ellenberg〉
艾倫伯格是哈佛大學數學博士、威斯康辛大學數學教授,並獲得約翰霍普斯金大學創意寫作碩士。數學主題的文章散見於《紐約時報》、《華盛頓郵報》、《連線》雜誌、《華爾街日報》,並是《石板》雜誌專欄作家。
艾倫伯格從小就是天才,兩歲就會讀書,五歲時就可以做兩位數乘法,十二歲時考SAT,數學就拿到800分滿分,現在身為數學教授的他,是數學界的超級明星,他在這本書中為讀者揭示混沌世界表像下隱藏的數學思維之美,教讀者運用數學思考的力量,做出更準確的工作與生活決策,解決日常生活的問題,這本書就是要幫助數學門外漢學習用數學思維思考問題的技能。

譯者簡介:
李國偉
1948年生於南京。台灣大學數學系畢業,美國杜克大學數學博士。曾任中央研究院數學研究所所長,中研院數學所研究員,多年來致力於科學普及工作,為天下文化「科學文化」叢書策畫者之一。曾獲李國鼎通俗科學寫作佳作獎、吳大猷科學普及著作獎翻譯類佳作獎。著有《一條畫不清的界線》,譯有《笛卡兒,拜拜!》(與饒偉立合譯)、《電腦也搞不定》、《科學迎戰文化敵手》。

內文試閱:
第11章:你期望贏得樂透時,是在期望什麼
你該玩樂透嗎?
一般認為,回答不該才是精明。有句老話說,樂透是「笨人繳的稅」,是政府犧牲那些遭誤導去買樂透的人所攫取的收入。如果你把樂透看成稅收,你就知道為什麼美國各州的財政局都喜歡樂透。還有別的稅目能讓人在便利商店排長隊去繳嗎?
樂透吸引人並非新鮮事,它起源於十七世紀的熱那亞,是從選舉制度中意外產生的。熱那亞每六個月就要從執政委員會裡挑兩位來擔任首長,他們不採用投票選舉,而是以抽籤的方式決定人選:從120張寫著委員名字的籤條抽出2張。沒多久,城裡的賭徒就開始對人選投注龐大賭金。後來,對首長人選下注變得非常受歡迎,賭徒愈來愈難忍到選舉日才玩心愛的遊戲,不過他們很快就理解,如果只是對紙條堆裡挑出的紙條下注,根本就不需要靠選舉這檔事。於是數字取代了政客的名字,熱那亞從1700年起便開始舉辦樂透。當時的樂透在威力球(Powerball)玩家眼中,一定很眼熟:投注的人猜五個隨機抽出的號碼,猜中的號碼愈多,獎金愈豐厚。
樂透很快就風靡全歐洲,再飄洋過海到美洲。在美國獨立戰爭期間,大陸會議與各州政府都用樂透來籌措軍費以對抗英軍。哈佛大學基金在還沒有累積到九位數之前,也曾於1794年與1810年辦樂透,籌款興建兩幢大樓。(那兩幢大樓至今還在當新生宿舍使用。)
但並不是每個人都讚許這種發展。道德家認為樂透其實就是賭博,他們這麼想也沒有錯。亞當‧史密斯(Adam Smith)也反對樂透,他在《國富論》裡說:
從樂透彩在各地都經營得很成功的事實看出,人們很自然會把獲利機會估得過高。完全公平的樂透,也就是全部得利可抵償全部損失的,不僅從來沒有過,以後也不會有。因為要是這樣,經營者就一無所得。……獎金不超過二十磅的樂透彩,縱使在其他方面比一般國營樂透彩更接近於完全公平,但買這種樂透的人恐怕要少得多。為了增加中大獎的機會,有的人會同時購買數張樂透,有的人會合買更多張。但是,你冒險購買愈多的樂透彩,你就愈可能輸,這是數學上再確定不過的定則。假若你冒險購買全部的樂透彩,你肯定會虧損。你購買的張數愈多,損失就愈接近於上述肯定的損失。
亞當‧史密斯的文筆鏗鏘有力,量化思想的做法也確實令人欽佩,但是你不應該盲目相信他的結論。嚴格來說,他的結論是不正確的。一般買樂透的人,並不覺得買兩組會比一組更容易成為輸家,反而應該是有加倍贏的機會。這種想法才是正確的!當樂透的獎勵制度比較單純時,你自己都不難檢查這件事。假設樂透有一千萬組號碼,而只有一個贏家,其中每組號碼賣1元,大獎是6百萬元。
買了全部的號碼的人,是花1千萬元來獲得6百萬元獎金。換句話說,正如亞當‧史密斯所說,採取這種策略注定會成為輸家,而且整整輸掉4百萬元。相較之下,僅買1組號碼的小本經營者比較有利,至少他有千萬分之一的機會可以贏!
但如果你買2組號碼會怎麼樣?你輸的機會必定會降低,雖然只是從千萬分之9,999,999降到千萬分之9,999,998。然而只要你繼續買進號碼組,成為輸家的機會就持續下降,直到你買進6百萬組號碼為止。到那時,你贏得樂透並使獎金跟成本打平的機會剛好是60%,你只有40%的機會成為輸家。這跟亞當‧史密斯講的相反,你買更多樂透反倒讓自己更不容易輸錢。
然而再多買一組號碼,你就必定輸錢(至於是輸掉1元還是4,000,001元,就看你是否中獎而定)。
我們很難重新建構亞當‧史密斯的推理過程,不過他很可能是「所有曲線都是直線」錯誤觀的犧牲者,才會認為既然買光所有樂透號碼必輸無疑,那麼買愈多自然愈可能輸錢。
買6百萬組號碼能使輸錢的機會降到最低,但這不表示樂透就該這樣玩,因為輸多少事關緊要。僅買一組號碼的人幾乎必輸無疑,不過他知道輸這點錢不算什麼。買6百萬組號碼的人雖然輸的機會比較低,但是處境卻岌岌可危。或許你會覺得這兩種選擇都不怎麼聰明。就像亞當‧史密斯指出的那樣,如果國家必定贏得樂透,在賭局中選擇跟國家不同立場並不是好主意。
亞當‧史密斯反對樂透的論點中缺乏了期望值的概念,那是亞當‧史密斯直覺上試圖表達的數學概念。它的功用如下,假設我們持有一個物件,但不確定它的金錢價值,譬如說一組樂透號碼:

9,999,999/10,000,000次:號碼組一文不值
1/10,000,000次:號碼組值6百萬元

儘管有不確定性,我們還是願意賦予每組號碼一個確定的價值。為什麼?好吧,倘若有一個傢伙願意用1.2元買一組號碼,那麼我是該保留這組號碼,還是為了賺2角就賣給他呢?答案取決於我賦予號碼組的價值,是低於還是高於1.2元而定。
現在來計算一組樂透號碼的期望值,我們把任一種可能結果的出現機率,乘上那個結果的價值。在下面簡化的例子裡,一共只有兩種結果:贏或輸,而你得到

9,999,999/10,000,000  0元 = 0元
1/10,000,000  6,000,000 元 = 6角

再把上面的結果加總:

0元 6角 = 6角

所以你對那一組號碼的期望值是6角。因此如果有樂透迷跑來對你說,願意用1.2元買你手上的那組號碼,期望值告訴你應該成交,但事實上期望值要告訴你的是,一開始就不應該花那1元去買一組號碼。
期望值不是你所期望的值
期望值是另一個不太名符其實的數學概念,有點類似前面討論的顯著性。我們當然不會「期望」一組樂透號碼才值6角,相反的它要嘛值1千萬元,要嘛一文不值,沒有居於中間的價值。
類似的例子,假設我對我認為有10%機會,會跑出第一名的狗押了10元的賭注。如果那隻狗贏了,那麼我會得到100元;如果那隻狗輸了,我就什麼也得不到。這場賭局的期望值是

(10%  100元) (90%  0元)= 10元

當然,這並非我期望的結局。其實10元根本不是可能的結果,更不是我期望的結果。期望值更恰當的名稱或許應該是「平均值」,因為期望值真正量度的是,如果我對許多隻這樣的狗押了許多次同樣的賭注,我期望發生的結果。打個比方,這種每注10元的賭局我賭了一千次,或許會贏一百次左右(大數法則再次起作用),每次都贏100元,總共贏了1萬元。所以我那一千次的賭注,每注平均贏回來的是10元,長時間看來很可能不賺不賠。
期望值很適合用來標定物件的恰當價格,例如在真正價值並不確定的賭狗場合。如果我用12元下一注,長期下去我很可能會輸錢;反過來說如果我可以用8元下一注,那我或許應該盡量下注。現在很少有人還在賭狗,但是不論是對賭票、股票、樂透定價,或為人壽保險定費率,期望值都可產生同樣的作用。
(摘自本書第十一章:你期望贏得樂透時,是在期望什麼)
資料來源:http://www.taaze.tw/sing.html?pid=11304774093